Чем математическое моделирование отличается от классической математики?

Математика исследует свойства математических объектов, например, уравнений в частных производных. При этом часто исследуются такие вопросы как существование решений, их регулярность и устойчивость. Математическое моделирование в большей степени направлено на изучение какого-то явления. Если мы говорим о биомедицине, то это могут быть различные физиологические процессы, функционирование тканей и органов, возникновение и развитие различных заболеваний и методы их лечения.

Для описания этих явлений и процессов нам надо предложить соответствующую математическую модель. Это могут быть, например, обыкновенные дифференциальные уравнения или уравнения в частных производных, часто ис­пользуемые для моделирования в биомедицине, но это могут быть и другие варианты, такие как клеточные автоматы дискретно-алгоритмические, гибридные модификации, включающие комбинацию дискретных и непрерывных видов.

Выбор модели может определяться разными факторами, в том числе, наиболее адекватным описанием и целями исследования. При этом требуется глубокое понимание тех вещей, которые мы изучаем. Одна из важных проблем заключается в том, что физиологические процессы чрезвычайно сложны. Пытаясь их описать с помощью математики, мы всегда вынуждены упрощать предположения и пренебрегать какими-то факторами. Вопрос о том, что является существенным, а чем можно пренебречь, требует понимания анатомии и взаимодействия с биологами и медиками.

С другой стороны, предлагая математическую модель, мы должны заранее представлять возможное поведение ее решений, поскольку «слепой» перебор вариантов — просто невозможен. Отсюда понятна роль математики в математическом моделировании: изучая свойства уравнений в частных производных, например, мы знаем поведение их решений и можем предвидеть, годится ли какое-либо уравнение для описания данного процесса. Исследование предложенной схемы также требует использования различных математических методов и, во многих случаях, численного решения.

Нужно также отметить, что математическое моделирование — это в некотором смысле итерационный процесс, в котором результаты сравниваются с экспериментальными или клиническими данными. Если результаты нас не удовлетворяют, то модель может уточняться, а в некоторых случаях она может служить основой для разработки новых экспериментов.

Какие вопросы можно решить при помощи математического моделирования?

Математическое моделирование применяется практически во всех областях науки и техники: в физике, химии, биологии, а в последние годы и в медицине. В Институте химической физики, где я начинал работу после университета около 40 лет назад, интенсивно изучались процессы горения и взрыва, полимеризации и другие физические и химические реакции. Моделирование в биологии и медицине — это очень обширная и интересная область, которая включает в себя самые разнообразные явления: задачи экологии и эволюции, морфогенез и рост растений, физиологию и медицину.

Чем вы занимаетесь в центре математического моделирования?

Идея создания Центра принадлежит Александру Леонидовичу Скубачевскому — директору Математического института им. С.М. Никольского. Она была поддержана руководством университета, а в практической ее реализации большую помощь оказывает заместитель директора Владимир Алексеевич Попов.

Работа в Центре развивается по трем основным направлениям: моделирование сердечно-сосудистых, онкологических и инфекционных заболеваний. Каждое из этих направлений представляет собой огромную и очень важную область исследований, в которых работают большое число специалистов по всему миру. В области сердечно-сосудистых заболеваний, например, мы занимаемся исследованием атеросклероза, свертываемости крови и тромбоза, моделированием работы сердца. Еще один проект связан с электростимуляцией коры головного мозга для реабилитации больных после инсульта. Инфекционные заболевания изучаются в рамках более широкой тематики — математической иммунологии — под руководством Геннадия Алексеевича Бочарова, одного из ведущих специалистов в этой области. Третье направление — онкологические заболевания, координирует Андрей Владимирович Колобов. Моделирование в биомедицине должно сочетаться с математическим анализом соответствующих моделей и численным моделированием. Одно из интересных направлений исследования уравнений в частных производных связано с нелинейной динамикой, то есть с описанием сложного поведения решений. Это направление курирует Андрей Александрович Полежаев. В работе центра принимают участие также более молодые сотрудники, аспиранты и постдоки. К нашей работе проявляют интерес и сотрудники Математического института.

Что такое раковое заболевание с точки зрения математики?

При описании онкологических заболеваний нужно начать с того, что клетки в нашем организме постоянно делятся. Это нормальный физиологический процесс, который позволяет замещать отмирающие ткани. При делении происходит копирование их ДНК, которое может сопровождаться ошибками. Это означает, что дочерняя клетка будет отличаться от материнской. Если ошибка при копировании ДНК большая, то новообразование окажется нежизнеспособным и погибнет сразу после появления. В других случаях, выживает и начинает делиться в свою очередь.

Таким образом появляются изменившиеся клетки. В нашем организме постоянно происходит огромное число мутаций, но подавляющее большинство — не представляют опасности. В некоторых редких случаях может произойти злокачественная мутация, при которой ткань начинает неконтролируемое деление, ведущее к появлению раковой опухоли.

Математическая онкология — это очень обширная и развитая область, исследующая различные виды раковых за­болеваний и методы их лечения. Нужно упомянуть, что современная медицина обладает широким спектром лечения онкологических заболеваний: химиотерапия, радиотерапия, иммунотерапия и т.д. Один из вопросов математического моделирования связан с исследованием оптимального сочетания различных способов лечения и лекарственных препаратов.

Упомяну еще одно интересное и важное направление в онкологии и моделировании — это эволюция раковых образований. Они подвержены мутациям еще в большей степени. Как правило, опухоль состоит из клеток различных типов (клонов). Эти клоны конкурируют между собой, примерно как разные биологические виды в процессе эволюции. При этом они могут быть в разной степени чувствительны к лекарственным препаратам. Таким образом, уничтожая в процессе лечения один из типов злокачественных элементов, мы можем получить дрyгой тип клеток, устойчивых (резистентных) к лечению. Это очень важная и сложная проблема, которая широко обсуждается в онкологии и в которой математическое моделирование может сыграть важную роль.

Экспертный комментарий:

«Я очень впечатлен результатами исследования профессора Вольперта, поэтому хочу подчеркнуть важность всех трех направлений применения математического моделирования. Они особенно интересны в тех областях, где значительный прогресс наиболее ожидаем, где соответствующее использование новых математических методов может бросить вызов серьезным проблемам. Грядут инновации и новые прорывы в медицине».

Ганс Георг Бок, (Hans Georg Bock)

профессор Междисциплинарного исследо­вательского центра научных вычислений при Гейдельбергском университете.